Публикации журнала не только вызывают отклики читателей, но и порождают новые темы для обсуждения. Так было со статьей В. Доценко “Пятое правило арифметики” (см. “Наука и жизнь” № 12, 2004 г.). В ней отмечалось низкое качество образования французских студентов, сдававших в школе “бак” (от слова “бакалавр”), аналог нашего единого государственного экзамена. Из откликов на статью мы напечатали заметку Г. Полознева “Сбывшееся предсказание”, в которой говорилось об аналогичном положении среди немецких студентов (см. “Наука и жизнь” № 12, 2005 г.), а кроме того, упоминалось о сельской школе Рачинского, который еще в конце XIX века прививал деревенским ребятишкам навыки устного счета и основы математического мышления. На иллюстрации к заметке — репродукции картины Богданова-Бельского изображен процесс решения в уме дроби (102 + 112 + 122 + 132 + 142)/365. Читателям предлагалось найти наиболее простой и рациональный метод нахождения ответа.
В качестве примера был дан вариант вычислений, в котором предлагалось упростить числитель выражения, по-иному сгруппировав его слагаемые:
102 + 112 + 122 + 132 + 142 = 102 + 122 + 142 + 112 + 132 = 4(52 + 62 + 72) + 112 + + (11 + 2)2 = 4(25 + 36 + 49) + 121 + 121 + 44 + 4 = 4 x 110 + 242 + 48 = 440 + 290 = 730.
Следует отметить, что данное решение было найдено “по-честному” — в уме и вслепую, во время прогулки с собакой в подмосковной роще.
На предложение присылать свои варианты решения откликнулись более двадцати читателей. Из них чуть меньше половины предлагают представить числитель в виде
102 + (10 + 1)2 + (10 + 2)2 + (10 + 3)2 + (10 + 4)2 = 5 x 102 + 20 + 40 + 60 + 80 + 1 + 4 + 9 + 16.
Это М. Граф-Любарский (г. Пушкино); А. Глуцкий (г. Краснокаменск Московской обл); А. Симонов (г. Бердск); В. Орлов (г. Липецк); Кудрина (г. Речица, Республика Беларусь); В. Золотухин (г. Серпухов Московской обл); Ю. Летфуллова, ученица 10-го класса (г. Ульяновск); О. Чижова (г. Кронштадт).
Еще более рационально представили слагаемые как (12 - 2)2 + (12 - 1)2 + 122 + (12 + 1)2 + (12 + 2)2, когда произведения ±2 на 1, 2 и 12 взаимно уничтожаются, В. Злоказов; М. Лихоманова, г. Екатеринбург; Г. Шнейдер, Москва; И. Горностаев; И. Андреев-Егоров, г. Северобай кальск; В. Золотухин, г. Серпухов Московской обл.
Читатель В. Идиатуллин предлагает свой способ преобразования сумм:
102 + 112 + 122 = 100 + 200 + 112 - 102 + 122 -102 = 300 + 1 x 21 +2 x 22 =321 + 44 = 365;
132 + 142 = 200 + 132 -102 + 142 -102 = 200 + 3 x 23 + 4 x 24 = 269 + 94 = 365.
Д. Копылов (Санкт-Петербург) напоминает об одной из самых известных математических находок С. А. Рачинского: существуют пять последовательных натуральных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних. Эти числа и приведены на классной доске. А если ученики Рачинского наизусть знали квадраты первых пятнадцати — двадцати чисел, задача сводилась к сложению трехзначных чисел. Например: 132 + 142 = 169 + 196 = 169 + (200 - 4). Сотни, десятки и единицы складываются по отдельности, и остается только подсчитать: 69 - - 4 = 65.
Похожим образом решили задачу Ю. Новиков, З. Григорян (г. Кузнецк Пензенской обл.), В. Маслов (г. Знаменск Астраханской обл.), Н. Лахова (Санкт-Петербург), С. Черкасов (п. Теткино Курской обл.) и Л. Жевакин (Москва), который предложил также дробь, вычисляемую аналогичным способом:
(102 + 112 + 122 + 132 + 142 + 152 + 192 + 22)/365 = 3.
А. Шамшурин (г. Боровичи Новгородской обл.) применил для вычисления квадратов чисел рекуррентную формулу типа A2i = (Ai-1 + 1)2, сильно упрощающую расчеты, например: 132 = (12 + 1)2 = 144 + 24 + 1.
Читатель В. Паршин (Москва) попытался применить правило быстрого возведения во вторую степень из книги Е. Игнатьева “В царстве смекалки”, обнаружил в нем ошибку, вывел свое уравнение и применил его для решения задачи. В общем виде a2 = (a - n)(a + n) + n2, где n — любое число меньше a. Тогда 112 = 10 x 12+ 12, 122 = 10 x 14 + 22, 132 = 10 x 16 + 32 и т. д., затем слагаемые группируются рациональным образом, так что числитель в конце концов принимает вид 700 + 30.
Инженер А. Трофимов (п. Ибреси, Чувашия) произвел очень интересный анализ числовой последовательности в числителе и преобразовал ее в арифметическую прогрессию вида
x1 + x2 + ... + xn, где xi = ai +1 - ai.
Для этой прогрессии справедливо утверждение
xn = 2n + 1, то есть a2n+1 = an2 + 2n + 1,
откуда получается равенство
a2n+k = an2 + 2nk + k2.
Оно позволяет подсчитывать в уме квадраты двух-трехзначных чисел и может быть применено для решения задачи Рачинского.
И наконец, правильный ответ оказалось возможным получить путем оценок, а не точных вычислений. А. Полушкин (г. Липецк) замечает, что, хотя последовательность квадратов чисел не линейна, можно пять раз взять квадрат среднего числа — 12, округлив его: 144 x 5 150 x 5 = 750. А 750 : 365 2. Поскольку ясно, что устный счет должен оперировать целыми числами, ответ этот наверняка верен. Он был получен за 15 секунд! Но его все же можно проверить дополнительно, произведя оценку “снизу” и “сверху”:
102 x 5 = 500, 500 : 365 > 1; 142 x 5 = 196 x 5 < 200 x 5 = 1000, 1000 : 365 < 3.
Больше 1, но меньше 3, следовательно — 2. Точно такую же оценку провел и В. Юдас (Москва).
Сам автор заметки “Сбывшееся предсказание” Г. Полознев (г. Бердск Новосибирской обл.) справедливо заметил, что числитель наверняка должен быть кратен знаменателю, то есть равен 365, 730, 1095 и т. д. Оценка величины частичных сумм однозначно указывает на второе число.
Трудно сказать, какой из предложенных способов расчета наиболее прост: каждый выбирает свой исходя из особенностей собственного математического мышления.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
